角を二等分・三等分する

[1]角の二等分線

先日行われた都立高校の入試問題に「右の図で、点Dは△ABCの辺AC上にあり、線分BDは∠ABCを2等分している。解答欄に示した図をもとにして、線分BDを、定規とコンパスを用いて作図せよ。」という出題がありました。

これは結局、∠ABCの二等分線を作図する問題です。角の二等分線線分の垂直二等分線を作図することと並んで基本的な有名な作図です。

その正しい理由も中学2年生で直角三角形の合同条件を用いて証明されます。


[2]定規・コンパスによる作図


ところで、数学の作図は定規・コンパスの2つの道具のみを使用することになっていますが、理由は『ユークリッド原論』までさかのぼります

その第1巻に、作図についての約束が厳密に規定されています。

1 任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
2 有限直線を連結して1直線に延長すること。
3 任意の点と距離(半径)をもって円を描くこと。…


1,2は定規を使い、3はコンパスを使います。『原論』では、これらの組み合わせにより作図することになります。



[3]三大作図問題

ところが、もし∠ABCを三等分することはどうでしょうか?たとえば、90度の三等分の30゜でしたら作図できるのですが60゜の三等分はどうでしょうか?

この証明は実に2000年以上の時を経て1837年にヴァンツェルンによって与えられた角を三等分することが不可能であることが証明されました。

この証明は最終的に3次方程式の解が、+、−、÷、×、√だけでは表現できないという問題に変えて証明されます。(高校で習う三角関数の知識が必要なため証明は省略します。)

これはギリシャ時代から考えられている「三大作図問題」の一つで次の3つがあります。

1 与えられた角の三等分線を作図せよ。(角の三等分問題)
2 与えられた立方体の2倍の体積をもつ立方体を作図せよ。(立方倍積問題)
3 与えられた円と同じ面積をもつ正方形を作図せよ。(円積問題)



2については次のような逸話が残されています。

○「立方体の祭壇を形を変えずに2倍の体積にせよ。」というお告げがされたとき、デロスの人々は縦、横、高さとも2倍の長さの立方体の祭壇を作った。悪疫は止むどころか、ますますその猛威をふるうようになったという。人々は、神意に反して8倍の体積の立方体を作ってしまったのである。そして、人々はギリシャの中心地アテネにいる大哲学者プラトンに相談にいったといわれている。

○また、この問題にはエラトステネスによって作られたというもう一つの逸話が伝えられている。ミノス王は、その子のために作られた墓が小さすぎて気に入らなかった。そこで、王は「この墓の2倍の大きさをもつ立方体の墓を作れ」と命じたという。

2、3も1と同じように2000年以上の時を経ていろいろな数学者が試みましたが19世紀になりようやく作図は不可能であることが証明されました。



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