渋谷にも現れた「π」の文字

［１］渋谷に現れた「π」の文字群

・「フライデー」（講談社９９年８月１３日号）によると渋谷から原宿にかけての明治通りの歩道上約３００ｍの間に２００個近くの「π」のペイント群が突然現れたそうです。「新興宗教の布教活動」、「暴走族」説、「ノストラダムスの予言」関係説、はたまた、「火星人の侵略予告」説といった情報までもが飛び交い、地元ではコギャルからオトナまでをも巻き込み、ちょっとした騒動になったそうです。
・実際の所は、７月10日から渋谷で上映されている『π（パイ）』という映画に関係がある、というのがどうやら正解のようです。
　この映画は'97年に製作された、ＳＦスリラーで、わずか６万ドルの低予算で作られた作品で、北米ではその54倍の興行収入をあげたというカルトムービーだそうです。
　「アメリカで上映された時に、監督たちがゲリラ的にペイントしたのが始まりなんです。それが『πing』(パイイング)というムーヴメントとして若者たちの間で広まり、映画を見た熱狂的な日本のファンたちが面白がって勝手に始めたようです」(配給会社広報担当者)
　思わぬ騒動となったこのペイントに配給会社も困惑気味。のようです。
　私もこの映画を見たいと思っていますが、東京では、渋谷「シネマライズ」のみのしかも、ＰＭ９：２０〜１０：４５の１回の上映です。（終電が心配です。）

［２］πの値の移り変わり

・円周率を表すπは、ギリシア語の周（περιφερεια）の頭文字で、オイラーが１７３７年に使い始めたあたりから円周率πが定着してきたようです。πの値を計算によって求めた最初の人は、円に内接・外接する多角形を用いて　3+10/71＜π＜3+1/7　を計算したアルキメデス（ギリシアB.C.287〜B.C.212）ですが、それ以外にも次のような記録があります。

B.C. 1700?　…１９３６年にバビロニアから出土した粘土板に、バビロニア人が

B.C. 1700頃…世界最古の数学書　アーメスのリンド・パピルスでπ≒3.1604が用いられている。
B.C.550頃　 …『旧約聖書』に次のような記述がある。「また海を鋳て造った。縁から縁まで１０キュビトであって、
　　　　　　　　　　周囲は円形をなし…その周囲は綱をもって測ると３０キュビトであった。）」
　　　　　　　　　　（注；１キュビトは、中指の先からひじまでの長さ、約４５cm）
B.C.100頃 　…中国の数学書『九章算術』でπ≒3が用いられている。

　さて、アルキメデスから始まった２０００年以上も続くπの値への挑戦は１９８０年代後半のスーパーコンピュータの登場によって桁数が飛躍的に伸び、日本（金田康正・田村良昭氏）と米国（D.V.チュドノフスキー、G.V.チュドノフスキー）の世界記録の奪い合いがマスコミでも報道されました。
　
（１）正多角形による計算

・直径１の円では（円周の長さ）＝（直径）×（円周率）＝１×π＝πとなります。
　そこで、（円に内接する正多角形の周の長さ）＜π＜（円に外接する正多角形の周の長さ）　…�@からπの近似値を求めます。

・まず、直径１の円Ｏに内接する正六角形と外接する正六角形で考えてみます。（右図参照）

　円の半径は1/2だから、正六角形の１辺も1/2になります。よって、
　
（円に内接する正六角形の周の長さ）＝1/2×6＝3　…�A

　また、△ＯＡ´Ｂ´は高さ1/2の正三角形だから、A´Ｂ´＝√3/3（中３の三平方の定理の応用で学習します。）

（円に外接する正六角形の周の長さ）＝√3/3×6＝2√3　…�B

�@、�A、�Bより

　　3＜π＜2√3=2×1.732…＝3.464…

・正多角形の角数が多いほど円周の長さがより正確に求まることから、角数を12、24、48…とふやし正96角形で近似値を求めたのが、アルキメデスで

　3+10/71＜π＜3+1/7　と計算しています。小数にすると　3.1408…＜π＜3.1428…　と小数点第二位まで正しく計算されています。

・この方法で日本人の関孝和（1642?〜1708）は正四角形からはじめて倍々に角数をふやし、最後に正角形まで計算して小数点以下１０桁まで計算したそうです。
・この方法で一番桁数をのばしたのは、オランダのルドルフで、正角形までを計算して３５桁まで計算したそうです。ドイツでは、πのことを彼の名をとって、「ルドルフ数」というそうです。

（２）無限級数による計算（アーク・タン公式）

・１７世紀になっての微分・積分の発明により、ニュートン（1642〜1727）はπを無限級数（無限個の項のたし算）を使って計算し、１６桁まで計算しました。

・１６９９年には、シャープ（1651〜1742）が

※arctanはtanの逆関数（アーク・タンと読む）

・１７０６年には、マチン（1680〜1752）が


という式を使い、小数１００桁まで求めました。

マチンの公式はコンピューターによる計算にも使用され、１９５９年にはギューが16167桁まで計算しています。

・アーク・タンとπを結びつける関係式は３００近く知られていますが、マチンの公式以外に記録更新にも使われた公式はクリンジェンシェルナ、ガウス、シュエルマーらの公式があります。

（３）最強の公式とスーパーコンピューター

・１９７６年にサラミン（米）とブレント（豪）の二人の学生によってまったく独立に、ガウス・ルジャンドルの方法が発表されました。アーク・タンの公式だと桁数を２倍にすると計算の手間は４倍になるが、この方法だと２倍ちょっとですむとそうです。
　この公式を使った最初の計算は、１９８２年の田村良昭氏による２００万桁で、それから１年ほどの間に１６００万桁まで急激に伸びました。１９８６年以降はスーパーコンピュータの導入も加わり、桁数の飛躍的な伸びがみられ、今日に至っています。


　大幅な桁数の伸びについて、『πの話』（金田康正著　東京図書）の中で、著者は

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　をあげています。　

・なお、現在の記録は687億1947万桁（１９９９年）（「πの部屋！」へ）です。



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